矩阵论学习笔记

$\mathbb{F}=\mathbb{R}$

1. $\mathbb{R}_n[x]$ 是次数小于 $n$ 的多项式构成的线性空间；
2. $\mathbb{R}[x]$ 是全体实系数多项式构成的线性空间，是无限维线性空间。

多项式空间的基与线性无关性

1. 单项式组的线性无关性分析
   $1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}$ 是 $\mathbb{R}[x]$ 中的一组向量：

   1. 线性无关性证明：
   2. 线性表示形式： $$\forall f \in \mathbb{R}_n[x], \\ f = a_0 \cdot 1 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \\ = \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & \cdots & x^{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}$$
   3. 线性无关性验证：
      若 $$a_0 \cdot 1 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0$$ 需证 $$a_i = 0,\ i = 0,1,\cdots,n-1$$ 取 $x = 1,2,\cdots,n$ 代入得线性方程组： $$\begin{bmatrix} 1^0 & 1^1 & 1^2 & \cdots & 1^{n-1} \\ 2^0 & 2^1 & 2^2 & \cdots & 2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n^0 & n^1 & n^2 & \cdots & n^{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$ 该矩阵为范德蒙德矩阵，行列式非零，故只有零解，证得线性无关。

2. 多项式组的线性相关性
   给定多项式组

   $$f_1,f_2,\cdots,f_N \in \mathbb{F}[x]$$

   记其为 $\mathbb{F}[x]$ 中的向量组，设

   $$d_i = \partial(f_i) \ (\partial(f_i)表示f_i的次数),\ i=1,2,\cdots,N$$

   取 $d = \max{d_1,d_2,\cdots,d_N}$，则 $x^{d+1} \in \mathbb{F}[x]$ 无法由该多项式组线性表示：
   假设

   $$x^{d+1} = a_1 f_1(x) + \cdots + a_N f_N(x) = b_0 x^0 + b_1 x^1 + \cdots + b_d x^d$$

   整理得

   $$b_0 x^0 + b_1 x^1 + \cdots + b_d x^d - x^{d+1} = 0$$

   左边多项式次数为 $d+1$ 但系数矛盾，故假设不成立。

1.3 子空间

子空间的定义

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$W \subseteq V$ 若满足以下条件则称为线性子空间：

1. 加法封闭性： $$\alpha,\beta \in W \Rightarrow \alpha+\beta \in W$$
2. 数乘封闭性： $$k \in \mathbb{F},\alpha \in W \Rightarrow k\alpha \in W$$

此时称 $W$ 是 $V$ 的一个线性子空间。
注：子空间继承了原空间 $V$ 的加法和数乘运算，且必须包含零向量。

由向量组张成的子空间（生成子空间）

1. 向量组张成空间的定义
   给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p$，其张成空间为：

   $$\text{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p\} = \left\{ \sum_{i=1}^p c_i \alpha_i \mid c_i \in \mathbb{F} \right\}$$

   称该空间为向量组 ${\alpha_i}$ 生成的子空间。

   性质：$W = \text{span}{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p}$ 是 $V$ 的线性子空间，验证如下：
   加法封闭性：

   $$\sum_{i=1}^p c_i \alpha_i + \sum_{i=1}^p c_i' \alpha_i = \sum_{i=1}^p (c_i + c_i') \alpha_i \in W$$

   数乘封闭性同理可证。

2. 子空间的生成表示
   若已知 $W$ 是线性子空间，存在向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p$ 使得

   $$W = \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p\}$$

   则称 ${\alpha_i}$ 是子空间 $W$ 的一组生成元。
   生成元的核心作用是给出子空间的显式表示形式。

矩阵的核空间与像空间

设 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，定义：

1. 核空间（零空间）：

   $$\ker(A) = \{ x \mid x \in \mathbb{F}^n,\ Ax = 0 \}$$

   $\ker(A)$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的线性子空间。

2. 像空间（列空间）：

   $$\text{im}(A) = \{ y \mid y \in \mathbb{F}^m,\ \exists x \in \mathbb{F}^n,\ y = Ax \} = \{ Ax \mid x \in \mathbb{F}^n \}$$

   $\text{im}(A)$ 是 $\mathbb{F}^m$ 的线性子空间，也等于矩阵 $A$ 列向量张成的子空间。

子空间的运算性质

设 $U,W$ 是 $V$ 的线性子空间：

1. $U \cap W$ 是线性子空间（交子空间）；
2. $U + W = \text{span}{U \cup W}$ 是线性子空间（和子空间）；
3. $U \cup W$ 一般不是线性子空间（除非其中一个包含另一个）。

1.4 线性映射

线性映射的定义

设 $V_1,V_2$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，映射 $\sigma: V_1 \rightarrow V_2$ 若满足：

1. 加法保持性：$\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
2. 数乘保持性：$\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$

则称 $\sigma$ 是从 $V_1$ 到 $V_2$ 的线性映射。当 $V_1 = V_2 = V$ 时，称 $\sigma$ 为 $V$ 上的线性变换。

注：线性映射要求是全空间的映射，且保持线性运算的结构不变。

矩阵与线性映射的对应关系

给定矩阵 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$，可诱导线性映射：

$$\mathcal{A}_A: \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m,\ x \mapsto Ax$$

反之，任意线性映射 $\mathcal{A}: \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ 对应唯一矩阵 $A{\mathcal{A}}$，满足 $\mathcal{A}(x) = A{\mathcal{A}}x$。

证明（标准基下）：
取 $\mathbb{F}^n$ 的标准基 $\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$，则

$$x = x_1 \epsilon_1 + x_2 \epsilon_2 + \cdots + x_n \epsilon_n = \begin{bmatrix} \epsilon_1 & \epsilon_2 & \cdots & \epsilon_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$

由线性映射的性质：

$$\mathcal{A}(x) = x_1 \mathcal{A}(\epsilon_1) + x_2 \mathcal{A}(\epsilon_2) + \cdots + x_n \mathcal{A}(\epsilon_n) = \begin{bmatrix} \mathcal{A}(\epsilon_1) & \mathcal{A}(\epsilon_2) & \cdots & \mathcal{A}(\epsilon_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = Ax$$

其中 $A = \begin{bmatrix} \mathcal{A}(\epsilon_1) & \mathcal{A}(\epsilon_2) & \cdots & \mathcal{A}(\epsilon_n) \end{bmatrix}$。

线性映射的矩阵表示

设线性映射 $\mathcal{A}: V \rightarrow W$，$\dim(V)=n$，$\dim(W)=m$：

• 取 $V$ 的一组基：$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$
• 取 $W$ 的一组基：$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_m$

将 $\mathcal{A}(\epsilon_j)$ 用 $W$ 的基表示：

$$\mathcal{A}(\epsilon_j) = a_{1j} \eta_1 + a_{2j} \eta_2 + \cdots + a_{mj} \eta_m = \begin{bmatrix} \eta_1 & \eta_2 & \cdots & \eta_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}$$

构造矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

称 $A$ 为线性映射 $\mathcal{A}$ 在基 ${\epsilon_j}$（定义域）和基 ${\eta_i}$（值域）下的矩阵表示，满足：

$$\mathcal{A} \begin{bmatrix} \epsilon_1 & \epsilon_2 & \cdots & \epsilon_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \eta_1 & \eta_2 & \cdots & \eta_m \end{bmatrix} A$$

记忆规则：

$$[\text{线性映射}][\text{定义域基}] = [\text{值域基}][\text{矩阵表示}]$$

线性映射的基本性质（待补充）