保留柔性结构的关节控制——ESP/ESπ

从欠驱动到准完全驱动

From Underactuation to Quasi-Full Actuation

柔性关节的一个缺点是它们固有的振荡特性。连杆位置 q 无法直接控制，有一个额外的自由度，因此它是欠驱动(underactuated)的。

$$M \ddot{q} = K (\theta - q) + \tau_{\text{ext}}$$ $$B \ddot{\theta} + K (\theta - q) = u$$

通过定义一个新的电机坐标 $\eta$,引入一个额外的连杆侧控制输入$u_1$,使用 前馈项来克服这个问题。由此得到的系统是准完全驱动(quasi‐fully actuated)的。

$$M \ddot{q} = K (\eta - q) + \bar{u}_1 + \tau_{\text{ext}}$$ $$B \ddot{\theta} + K (\eta - q) = \bar{u}_2$$

分别联立两组方程的对应两式：

$$K \theta = M \ddot{q} + K q -\tau_{\text{ext}}=K \eta+\bar{u}_1$$ $$B \ddot{\theta} + K \theta - u = K q = B \ddot{\eta} + K \eta - \bar{u}_2$$

整理得到：

$$\eta = \theta - \frac{\bar{u}_1}{K}$$ $$u = \bar{u}_1 + \bar{u}_2 + B K \ddot{\bar{u}}_1$$

令：

$${\bar{u}}_1 = -K_q(q-q_d)-D_q\dot{q}$$ $${\bar{u}}_2 = -K_\eta \dot{\eta}$$

问题1：3阶导数问题——动态拓展

Enhancing Classical Impedance Control Concepts while Ensuring Transferability to Flexible Joint Robot

控制率$u$计算公式含有$\ddot{\bar{u}}_1$，而$\bar{u}_1$公式中又含有$\dot{q}$，因此计算控制率时不可避免要计算$q^{(3)}$。在实际中，位置传感器的三阶导数噪音相当大，几乎无法使用。

为此，考虑在$\bar{u}_1$与连杆之间加入一些虚拟结构，以减少$q$的阶数，防止与刚性环境碰撞时产生巨大的转矩指令。

设：

$${\bar{u}}_1 = K_1q_d-K_2q$$

那么：

$$ESπ 0: K1 = K_q K2 = D_q s + K_q$$ $$ESπ 1: K1 = \frac{K_m K_q}{D_q s + K_m + K_q} K2 = \frac{D_q K_m s + K_m K_q}{D_q s + K_m + K_q}$$ $$ESπ 2: K1 = \frac{K_m K_q}{m s^2 + D_q s + K_m + K_q} K2 = \frac{K_m m s^2 + D_q K_m s + K_m K_q}{m s^2 + D_q s + K_m + K_q}$$ $$ESπ 3: K1 = K_q K2 = \frac{(D_q K_m + D_q K_q)s + K_m K_q}{D_q s + K_m}$$ $$ESπ 4: K1 = K_q K2 = \frac{(K_m m + K_q)m s^2 + (D_q K_m + D_q K_q)s + K_m K_q}{m s^2 + D_q s + K_m}$$

可以看出$K_2$在1-4中分子分母都是同阶的，没有显式微分。

问题2：2阶导数问题

动量观测器观测外力

Collision Detection and Safe Reaction with the DLR-III Lightweight Manipulator Arm

通过刚体动力学方程计算$\ddot{q}$

问题3：惯量整形

On the Passivity-Based Impedance Control of Flexible Joint Robots

惯量整形有助于减小超调，但也会减小阻尼，不得不加大主动阻尼。

问题4：参数整定问题：模态阻尼因子设计法

A passivity-based controller for motion tracking and damping assignment for compliantly actuated robots

初步模态阻尼因子设计法。按照电机端与连杆端分别设计阻尼，根据阻尼计算系数。

问题5：结合积分

Robust Stabilization of Elastic Joint Robots by ESP and PID Control Theory and Experiments

• “延迟” 是为了确保机器人在远离目标点时稳定，靠近目标点时再开积分保精度；
• “接触判断” 是利用动量观测器估算外力+阈值触发，一旦接触，立即冻结积分（Hold），确保机器人在接触时表现为柔顺（无源），而在离开接触后又能保持精准归位。