PID整定标准——幅值最优、对称最优、阻尼最优

1. 引言

线性调节回路的设计除稳定性外，还需满足以下性能要求：

• 稳态精度（实际值精确跟踪给定值）
• 跟随性能（动态跟踪精度）
• 抗扰性能（扰动影响最小化）

然而，稳定性、精度与动态性能对调节器参数的要求往往相互矛盾，需折中处理。为此发展出若干优化准则。在电气传动中，内环（电流环）常用幅值最优（Betragsoptimum, BO），外环（转速环）常用对称最优（Symmetrisches Optimum, SO），而阻尼最优（Dämpfungsoptimum, DO） 则作为更广义的统一框架。

优化目标：使被控量 $x$ 尽可能快速、准确、低超调地跟随给定值 $w$，或扰动后快速恢复。通常以给定值阶跃响应作为检验标准。

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2. 幅值最优 (Betragsoptimum, BO)

2.1 基本思想

要求闭环频率响应 $|F_w(j\omega)|$ 在尽可能宽的频带内保持为 1（理想跟随），相位接近 0（最小相位系统）。这保证了阶跃响应超调小、扰动抑制快。

适用于不含积分环节且具有一阶大时间常数的被控对象（如电流环），当变流器延时不忽略时尤为重要。

2.2 标准推导（PT2 对象 + PI 调节器）

被控对象（PT2）：

$$G_S(s) = \frac{V_S}{(1+sT_1)(1+sT_\sigma)}$$

其中 $T1$ 为大时间常数，$T\sigma$ 为小时间常数（通常为各小时间常数之和）。

PI 调节器：

$$G_R(s) = V_R \cdot \frac{1+sT_n}{sT_n}$$

整定规则（BO）

1. 补偿大时间常数：

   $$T_n = T_1$$

2. 确定比例增益，使 $|F_w|$ 在低频段尽量接近 1：

   $$V_R = \frac{T_1}{2\,V_S\,T_\sigma}$$

边界条件（若考虑抗扰性能）：

$$T_\sigma < T_1 \le 4T_\sigma$$

当 $T1 > 4T\sigma$ 时，抗扰性变差，此时应改用对称最优（见第3节）。

2.3 优化后的闭环传递函数

代入整定值后，闭环跟随传递函数为标准二阶形式：

$$G_w(s)\bigg|_{\text{BO}} = \frac{1}{1 + 2T_\sigma s + T_\sigma^2 s^2}$$

其阻尼比 $D = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$，超调约 4%，上升时间 $t{\text{an}} \approx 4.7T\sigma$，调节时间 $t{\text{aus}} \approx 8.4T\sigma$（±2% 误差带）。

工程上常用一阶惯性近似：

$$G_{w,\text{ers}}(s) \approx \frac{1}{1 + 2T_\sigma s}$$

2.4 推广与特殊情况

• PID 调节器：若被控对象有两个大时间常数，可用 PID 补偿第二个大时间常数 $T_2$，规则为：

  $$T_n = T_1,\quad T_v = T_2,\quad V_R = \frac{T_1}{2V_S T_\sigma}$$

• 反馈通道含测量延迟（PT1 测量环节）：设测量时间常数为 $Tg$，则等效小时间常数 $T\sigma = T2 + T_g$，但实际被控量响应更快，等效时间常数为 $T{\text{ers}} = 2T_\sigma - T_g$。为得到理想 BO 特性，需在给定通道加入前置滤波 $G_G(s) = V_r/(1+sT_g)$。

• 含纯延迟（死区）系统：变流器可用延迟环节 $e^{-sTt}$ 近似，此时可将 $T_t$ 视为 $T\sigma$，并保持同样的整定规则，但相位裕度取约 63.5°。

2.5 频域解释（相位裕度）

BO 整定下，开环截止频率处的相位角为：

$$\varphi_0 = -90^\circ - 26.5^\circ = -116.5^\circ$$

对应的相位裕度 $\varphi_{Rd} = 63.5^\circ$。

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3. 对称最优 (Symmetrisches Optimum, SO)

3.1 基本思想

SO 主要针对含积分环节的被控对象（如转速环，含有积分环节且需无静差抗扰），或当对象时间常数比 $T1/T\sigma > 4$ 时为了改善抗扰性能而采用。

其名称源于开环频率特性中，超前环节的转折频率 $1/(4T\sigma)$ 与滞后环节的转折频率 $1/T\sigma$ 对称于幅值穿越频率 $\omegad = 1/(2T\sigma)$。

3.2 标准推导（IT1 对象 + PI 调节器）

被控对象（IT1）：

$$G_S(s) = \frac{V_S}{sT_1} \cdot \frac{1}{1+sT_\sigma}$$

PI 调节器同上。

整定规则（标准 SO）

$$T_n = 4T_\sigma$$ $$V_R = \frac{T_1}{2\,V_S\,T_\sigma}$$

3.3 闭环传递函数与性能

不加给定滤波时，闭环传递函数为三阶：

$$G'_w(s) = \frac{1 + s4T_\sigma}{1 + s4T_\sigma + s^2 8T_\sigma^2 + s^3 8T_\sigma^3}$$

阶跃响应超调约 43%，上升时间 $t{\text{an}} \approx 3.1T\sigma$，调节时间 $t{\text{aus}} \approx 17.8T\sigma$（±2%）。

为减小超调，需在给定通道加入前置滤波（给定平滑）：

$$G_G(s) = \frac{1}{1 + sT_G},\quad T_G = 4T_\sigma$$

滤波后传递函数变为：

$$G_w(s) = \frac{1}{1 + s4T_\sigma + s^2 8T_\sigma^2 + s^3 8T_\sigma^3}$$

此时超调降至约 8%，上升时间约 $7.6T\sigma$，调节时间约 $13.3T\sigma$。

该传递函数的极点分布为：

$$s_1 = -\frac{1}{2T_\sigma},\quad s_{2,3} = \frac{1}{4T_\sigma}(-1 \pm j\sqrt{3})$$

阻尼比 $D = 0.5$。

3.4 参数化推广（引入因子 $a$）

一般化设置：

$$T_n = a^2 T_\sigma,\quad V_R = \frac{T_1}{a\,V_S\,T_\sigma}$$

闭环传递函数（含给定滤波）为：

$$G_w(s) = \frac{1}{1 + a^2 T_\sigma s + a^3 T_\sigma^2 s^2 + a^3 T_\sigma^3 s^3}$$

标准 SO 对应 $a=2$（即 $Tn=4T\sigma$）。

3.5 扩展应用：PT2 对象且 $T1 > 4T\sigma$

若对象为 PT2（无积分）且大时间常数远大于小时间常数，BO 抗扰性差，可近似按 SO 整定。引入校正因子 $k_1, k_2$：

$$T_n = k_1 \cdot 4T_\sigma,\quad V_R = k_2 \cdot \frac{T_1}{2V_S T_\sigma}$$

通过使闭环特征多项式与 SO 标准形式一致，解得：

$$k_1 = \frac{1 + (T_\sigma/T_1)^2}{(1 + T_\sigma/T_1)^3},\quad k_2 = 1 + (T_\sigma/T_1)^2$$

当 $T1/T\sigma \to \infty$ 时，$k_1, k_2 \to 1$，退化为标准 SO。

3.6 频域性能

标准 SO 的相位裕度约为 37°（$a=2$）。增大 $a$ 可提高阻尼，但会降低快速性。

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4. 阻尼最优 (Dämpfungsoptimum, DO)

4.1 基本思想

DO 是一种广义优化方法，通过预先指定闭环期望传递函数（通常为具有良好阻尼特性的标准多项式），然后反求调节器参数。BO 和 SO 均可视为 DO 在特定阶次下的特例。

DO 可处理高阶对象（≥3阶）以及带有共轭复数极点的对象，适用范围更广。

4.2 双重比（Doppelverhältnisse）与标准函数

对于闭环传递函数分母多项式：

$$A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \cdots + a_n s^n$$

定义系数比 $Vi = a_i / a{i-1}$，以及双重比：

$$D_i = \frac{V_i}{V_{i-1}} = \frac{a_i a_{i-2}}{a_{i-1}^2},\quad i=2,\dots,n$$

DO 的核心是令所有 $D_i = 0.5$，以获得最佳阻尼。

标准 DO 传递函数（$n$ 阶）具有以下形式：

$$G_w(s) = \frac{1}{1 + \sum_{i=1}^{n} 2^{\frac{i(2n-i-1)}{2}} T_{\text{sys}}^i s^i}$$

其中 $T_{\text{sys}}$ 为系统时间常数（最快的动态时间）。

常用低阶标准函数

• $n=2$（等同于 BO）：

  $$G_w(s) = \frac{1}{1 + 2T_{\text{sys}}s + 2T_{\text{sys}}^2 s^2}$$

  极点位于 $45^\circ$ 射线，阻尼比 $D=0.707$。

• $n=3$（等同于 SO）：

  $$G_w(s) = \frac{1}{1 + 4T_{\text{sys}}s + 8T_{\text{sys}}^2 s^2 + 8T_{\text{sys}}^3 s^3}$$

• $n=4$：

  $$G_w(s) = \frac{1}{1 + 8T_{\text{sys}}s + 32T_{\text{sys}}^2 s^2 + 64T_{\text{sys}}^3 s^3 + 64T_{\text{sys}}^4 s^4}$$

性能指标（给定滤波后）概览：

阶次 n	$t{\text{an}} / T{\text{sys}}$	$t{\text{aus}} / T{\text{sys}}$	超调量
2 (BO)	4.6	8.6	约 4%
3 (SO)	7.5	13.3	约 8%
4	14.4	24.0	约 6%
5	29.0	49.5	约 6%

4.3 调节器设计步骤

设被控对象传递函数为：

$$G_S(s) = \frac{1}{\sum_{i=\sigma}^{\tau} c_i s^i}$$

（允许 $\sigma$ 为负，表示微分环节）。

设调节器为：

$$G_R(s) = \sum_{i=\rho}^{\nu} b_i s^i$$

（$i<0$ 为积分，$i=0$ 为比例，$i>0$ 为微分）。

为使闭环稳态增益为 1，要求 $\rho \le \sigma-1$。对于恰定系统（调节器参数数量等于待定双重比数量），有：

$$\rho = \begin{cases} 0, & \sigma > 1 \\ \sigma-1, & \sigma \le 1 \end{cases},\quad \nu = \tau - 2$$

闭环传递函数为：

$$G_w(s) = \frac{\sum_{i=\rho}^{\nu} b_i s^i}{\sum_{i=\rho}^{\nu} b_i s^i + \sum_{i=\sigma}^{\tau} c_i s^i}$$

令其分母多项式等于前述标准 DO 多项式（阶数 $n = \tau - \rho$），通过系数比较即可解出所有 $b_i$。

通用整定公式（适用于恰定系统）：

对于 $i = \rho, \dots, \nu$：

$$b_i = 2^{-\frac{(\tau - i)(\tau - i - 1)}{2}} \cdot c_\tau \cdot \left( \frac{c_{\tau-1}}{c_\tau} \right)^{\tau - i} - c_i$$

其中 $c_i$ 为对象分母系数，若 $i$ 不在 $[\sigma,\tau]$ 范围内则 $c_i=0$。

若闭环传递函数出现分子多项式（零点），需加入给定前置滤波 $G_G(s)$，其传递函数为分子多项式的倒数。

4.4 DO 与 BO、SO 的关系

• PT1 对象 + I 调节器：DO 给出 $b{-1} = 1/(2T\sigma V_S)$，得到 $G_w$ 为二阶标准函数，即 BO。
• IT1 对象 + PI 调节器：DO 给出 $b{-1}=1/(8T\sigma^2 VS)$，$b_0=1/(2T\sigma VS)$，等效于 $T_n=4T\sigma, VR=1/(2T\sigma V_S)$，即 SO。
• PT2 对象 + PI 调节器：DO 给出扩展 SO 的校正因子 $k_1, k_2$，与第 3.5 节一致。

因此，BO 和 SO 是 DO 在特定阶次和对象结构下的特例。

4.5 带分子多项式（零点）的处理

若对象含有零点（例如 $G_S(s) = Z_S(s)/N_S(s)$），可采用：

• 直接补偿：在调节器后串联 $1/Z_S(s)$（仅当零点在左半平面）。
• 多项式除法：将 $N_S(s)/Z_S(s)$ 展开近似为新的分母。
• 通用方法：基于幅值逼近条件（类似于 BO 的推导），求解非线性方程组来确定调节器参数，使闭环 $|F_w|$ 在低频段尽可能为 1。该方法适用于任意零点分布。

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5. 性能指标与设计指导

5.1 常用动态指标定义

• 上升时间 $t_{\text{an}}$：从阶跃开始到首次达到稳态值的时间。
• 调节时间 $t_{\text{aus}}$：输出进入稳态值 ±2% 误差带并保持的最小时间。
• 最大超调量 $\Delta x_{\max}/x_0$。

5.2 各优化方法的典型阶跃响应特性（给定滤波后）

方法	阶次	上升时间	调节时间	超调量
BO	2	4.7 $T_\sigma$	8.4 $T_\sigma$	4%
SO	3	7.6 $T_\sigma$	13.3 $T_\sigma$	8%
DO	4	14.4 $T_{\text{sys}}$	24 $T_{\text{sys}}$	~6%

5.3 调节器选型速查表（含积分/I 与否）

对象类型	时间常数条件	推荐调节器	优化准则	给定滤波时间
PT1	任意	P 或 I	BO	无
PT2	$T1/T\sigma > 1$	PI	BO	无
PT2	$T1/T\sigma \ge 4$	PI	SO	0…4$T_\sigma$
PT3	多时间常数	PID	BO 或 SO	视情况
IT1	任意	PI	SO	4$T_\sigma$
IT2	任意	PID	SO	4$T_\sigma$

注：若对象含有测量延迟，需在给定通道加入相应补偿滤波。

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6. 总结

• BO 适用于无积分对象（如电流环），整定简单，超调小，但抗扰性在 $T1/T\sigma > 4$ 时变差。
• SO 适用于含积分对象（如转速环），或大时间常数比时的抗扰优化，但阶跃响应超调较大，需给定滤波。
• DO 是统一框架，可处理高阶、共轭极点及零点对象，BO 和 SO 均为其特例。设计时需预先指定期望标准多项式，通过系数比较或极点配置实现。

在实际工程中，可根据对象阶次、时间常数比、抗扰要求及实现复杂度，灵活选用上述方法，或借助仿真工具（MATLAB）进行数值优化。

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参考文件

第3章 标准优化方法（原文）

第3章 标准优化方法（中译）

第4章 广义优化方法（原文）

第4章 广义优化方法（中译）