扰动观测器

扰动观测器通过转矩指令和速度反馈观测负载转矩，并将观测到的转矩补偿给转矩前馈：

1. 对摩擦力有补偿效果

2. 对抑制振动有帮助

1. 扰动观测器（DOB）

通用伺服里的扰动观测器，Luenberger观测器

$$\dot{x}=Ax+Bu=>\begin{bmatrix} \dot{\omega} \\ \dot{T_l} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{J}\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega \\ T_l \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ (\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\dot{T_l})$$ $$y = Cx=>y=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega \\ T_l \end{bmatrix}$$

设计Luenberger观测器：

令 $\hat{\dot{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})$

$$\hat{\dot{x}}=(A-LC)\hat{x}+Bu+Ly$$ $$A-LC=\begin{bmatrix} -L_1 & \frac{1}{J}\\\ -L_2 & 0 \end{bmatrix}$$

其特征方程为:

$$\lambda^2+L_1\lambda +\frac{1}{J}L_2=0$$

只需要保证两根为负即稳定

取 $L_1=2\omega_n$, $L_2=\omega_n^2J$

得到控制率：

$$\begin{bmatrix} \hat{\dot{\omega}} \\ \hat{\dot{T_l}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{J}\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\omega} \\ \hat{T_l} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} 2\omega_n\\ \omega_n^2J \end{bmatrix} (\omega-\hat{\omega })$$

整理传递函数得到：

$$G_{DOB}=\frac{\hat{T_l}}{T_l} =\frac{\omega_n^2J}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2J}$$

2. 扩张状态观测器（ESO）

$$\begin{bmatrix} \dot{\omega} \\ \dot{T_d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega \\ T_d \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\dot{T_d}$$

扩张观测器：

$$\left\{\begin{matrix} e = \omega - \hat{\omega }\\ \dot{\hat{\omega}} = \hat{T_d}+\frac{T_e}{J}+\beta_0e\\ \dot{\hat{T_d}} = \beta_1e \end{matrix}\right.$$ $$\begin{bmatrix} \hat{\dot{\omega}} \\ \hat{\dot{T_d}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\omega} \\ \hat{T_d} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} \beta_0\\ \beta_1 \end{bmatrix} e$$

与原式相减：

$$\begin{bmatrix} \dot{\omega}-\hat{\dot{\omega}} \\ \dot{T_d}-\hat{\dot{T_d}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\beta_0 & 1\\ -\beta_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega-\hat{\omega} \\ T_d-\hat{T_d} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\dot{T_d}$$ $$\begin{bmatrix} -\beta_0 & 1\\ -\beta_1 & 0 \end{bmatrix}$$的特征方程为： $$s^2+\beta_0s +\beta_1=0$$

取：

$$\left\{\begin{matrix} \beta_0=2\omega_n\\ \beta_1=\omega_n^2\\ \end{matrix}\right.$$

得到控制率：

$$\begin{bmatrix} \hat{\dot{\omega}} \\ \hat{\dot{T_d}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\omega} \\ \hat{T_d} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} 2\omega_n\\ \omega_n^2 \end{bmatrix} (\omega - \hat{\omega })$$

整理传递函数得到：

$$G_{ESO}=\frac{\hat{T_d}}{T_d} =\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

与DOB结果完全相同

3. 锁相环型扩张状态观测器（PLL-ESO）

基于锁相环型扩张状态观测器的机械谐振抑制

$$\begin{bmatrix} \dot{\omega} \\ \dot{T_d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega \\ T_d \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\dot{T_d}$$

扩张观测器：

$$\left\{\begin{matrix} e = \omega - \hat{\omega }\\ \dot{\hat{\omega_m}} = \hat{T_d}+\frac{T_e}{J}\\ \dot{\hat{T_d}} = \beta_0\dot{e}+\beta_1e \end{matrix}\right.$$ $$\begin{bmatrix} \hat{\dot{\omega}} \\ \hat{\dot{T_d}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\omega} \\ \hat{T_d} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} 0\\ \beta_0 \end{bmatrix} \dot{e}+ \begin{bmatrix} 0\\ \beta_1 \end{bmatrix} e$$

与原式相减：

$$\begin{bmatrix} \dot{\omega}-\hat{\dot{\omega}} \\ \dot{T_d}-\hat{\dot{T_d}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\beta_1 & -\beta_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega-\hat{\omega} \\ T_d-\hat{T_d} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\dot{T_d}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\beta_1 & -\beta_0 \end{bmatrix}$$的特征方程为： $$s^2+\beta_0s +\beta_1=0$$

取：

$$\left\{\begin{matrix} \beta_0=2\omega_n\\ \beta_1=\omega_n^2\\ \end{matrix}\right.$$

得到控制率：

$$\begin{bmatrix} \hat{\dot{\omega}} \\ \hat{\dot{T_d}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\omega} \\ \hat{T_d} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{J} \\ 0 \end{bmatrix}T_e+ \begin{bmatrix} 0\\ 2\omega_n \end{bmatrix} (\dot{\omega} - \hat{\dot{\omega} })+ \begin{bmatrix} 0\\ \omega_n^2 \end{bmatrix} (\omega - \hat{\omega })$$

整理传递函数得到：

$$G_{PLL-ESO}=\frac{\hat{T_d}}{T_d} =\frac{2\omega_ns+\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

为什么叫PLL锁相环，因为与锁相环传函相同

Model-Free Friction Observers for Flexible Joint Robots With Torque Measurements

这篇论文里面的PD型观测器传函与PLL-ESO相同
PID型是一个三阶滤波器

4. 双反馈扰动观测器（自己推导,待验证）

理论可行，充分利用双编码器，待验证

$$\begin{bmatrix} \dot{\omega_l} \\ \dot{\omega_m} \\ \dot{T_s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{J_l}\\ 0 & 0 & -\frac{1}{J_m}\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_l \\ \omega_m \\ T_s \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -\frac{1}{J_l} & 0 \\ 0 & \frac{1}{J_m} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_l \\ T_e \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\dot{T_s}$$ $$\begin{bmatrix} \omega_l \\ \omega_m \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_l \\ \omega_m \\ T_s \end{bmatrix}$$

设计Luenberger观测器：

令 $\hat{\dot{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})$

$$\hat{\dot{x}}=(A-LC)\hat{x}+Bu+Ly$$

令$L= \begin{bmatrix} L_1 & L_2 \\ L_2 & L_1 \\ L_3 & -L_3 \end{bmatrix}$

注意到，特征根方程为$(\lambda+\omega_n)^3=0$时：

$$L_1=\frac{3}{2}\omega_n$$ $$L_2=-\frac{1}{2}\omega_n$$ $$L_3=\frac{R}{R+1}J_m{\omega_n}^2$$

其中$R$为惯量比

控制率为：

$$\begin{bmatrix} \hat{\dot{\omega_l}} \\ \hat{\dot{\omega_m}} \\ \hat{\dot{T_s}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{J_l}\\ 0 & 0 & -\frac{1}{J_m}\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\omega_l} \\ \hat{\omega_m} \\ \hat{T_s} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -\frac{1}{J_l} & 0 \\ 0 & \frac{1}{J_m} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_l \\ T_e \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{3}{2}\omega_n & -\frac{1}{2}\omega_n \\ -\frac{1}{2}\omega_n & \frac{3}{2}\omega_n \\ \frac{R}{R+1}J_m{\omega_n}^2 & -\frac{R}{R+1}J_m{\omega_n}^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_l - \hat{\omega_l} \\ \omega_m - \hat{\omega_m} \end{bmatrix}$$

这里，轴端速度和末端速度作差补偿给转矩前馈是其中一部分。

参考论文