二阶滑模算法理论推导：Twisting / STA / 线性超螺旋（SOSML）

前置统一模型与基础假设

二阶被控对象

考虑含集总有界扰动、相对阶为2的标准二阶标量系统（高维可对角化堆叠）：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = f(t) + u \end{cases} \tag{1}$$

变量定义：

• $x_1$：滑模变量（控制目标：有限时间收敛至0）；
• $x_2$：$x_1$ 的一阶导数（速度状态）；
• $u$：控制输入；
• $f(t)$：包含建模误差、外部干扰的集总扰动。

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普通二阶滑模：Twisting 算法

控制律设计

Twisting 通过双状态符号函数叠加构造控制量，直接抑制有界幅值扰动：

$$u = -k_1 \cdot \text{sgn}(x_1) - k_2 \cdot \text{sgn}(x_2), \quad k_1 > 0, k_2 > 0 \tag{2}$$

闭环误差动态

将 (2) 代入 (1)，得：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = f(t) - k_1 \text{sgn}(x_1) - k_2 \text{sgn}(x_2) \end{cases} \tag{3}$$

非光滑李雅普诺夫函数构造

选取正定径向无界的候选函数（含交叉项）：

$$V = \frac{1}{2} k_1 x_1^2 + \frac{1}{2} x_2^2 + k_2 |x_1| \cdot |x_2| \tag{4}$$

正定性严格判定：该二元二次型正定的充要条件为顺序主子式大于0，即：

$$k_1 > 0, \quad \boldsymbol{k_1 > k_2^2}$$

导数放缩与有限时间收敛

对 (4) 沿系统轨迹求导，通过四象限符号全域分析（相平面对称性），当满足增益条件 $k_1 > k_2 + D$ 且 $k_2 > D$ 时，存在常数 $\eta > 0$，使得：

$$\dot{V} \le -\eta \sqrt{V} \tag{5}$$

对微分不等式 (5) 分离变量积分：

$$\frac{dV}{\sqrt{V}} \le -\eta dt \quad \Longrightarrow \quad 2\sqrt{V(t)} \le 2\sqrt{V(0)} - \eta t$$

收敛时间上界有限：

$$T \le \frac{2\sqrt{V(0)}}{\eta} < \infty \tag{6}$$

算法结论

Twisting 可保证 $(x_1, x_2)$ 在有限时间内收敛至原点，但必须同时测量误差及其微分，工程中易引入噪声抖振。

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超螺旋滑模：STA / SOSM 算法

超螺旋算法是工程中最常用的二阶滑模，仅需测量 $x_1$，通过内部积分动态隐式重构微分项，完美适配扰动变化率有界的场景。

动态控制律设计

引入动态控制，令 $u = \dot{v}$，规避显式微分项：

$$v = -k_1 |x_1|^{1/2} \text{sgn}(x_1) + z, \quad \dot{z} = -k_2 \text{sgn}(x_1) \tag{7}$$

定义复合误差变量 $s = z + f(t)$，结合扰动特性 $|\dot{f}(t)| \le L$，推导标准 STA 误差动态：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -k_1 |x_1|^{1/2} \text{sgn}(x_1) + s \\ \dot{s} = -k_2 \text{sgn}(x_1) + \rho(t) \end{cases}, \quad |\rho(t)| \le L \tag{8}$$

Moreno 坐标变换（核心技巧）

为证明有限时间收敛，引入经典 Moreno 变换，将非线性系统”近似线性化”：

$$\zeta = \begin{bmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |x_1|^{1/2} \text{sgn}(x_1) \\ s \end{bmatrix} \tag{9}$$

核心性质：$\zeta_1^2 = |x_1|$，且 $|x_1|^{1/2} = |\zeta_1|$。

变换后系统动态

对 (9) 求导并整理，得：

$$\dot{\zeta} = \frac{1}{|\zeta_1|} \underbrace{\begin{bmatrix} -\frac{k_1}{2} & \frac{1}{2} \\ -k_2 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \zeta + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}}_{B} \rho(t) \tag{10}$$

当 $k_1, k_2 > 0$ 时，矩阵 $A$ Hurwitz 稳定（特征值实部全负）。

严格李雅普诺夫稳定性放缩（修正闭环）

取正定矩阵 $P = P^\top > 0$ 满足 Lyapunov 方程 $A^\top P + PA = -Q$（其中 $Q = Q^\top > 0$，常取单位阵）。构造候选函数 $V = \zeta^\top P \zeta$。

沿 (10) 对 $V$ 求导：

$$\dot{V} = -\frac{1}{|\zeta_1|} \zeta^\top Q \zeta + 2 \zeta^\top P B \rho(t) \tag{11}$$

利用范数不等式和扰动有界 $|\rho| \le L$，得：

$$\dot{V} \le -\frac{\lambda_{\min}(Q)}{|\zeta_1|} \|\zeta\|^2 + 2 \|P B\| \|\zeta\| L$$

关键严格放缩：由于 $|\zeta_1| \le |\zeta|$，则 $\frac{1}{|\zeta_1|} \ge \frac{1}{|\zeta|}$，故：

$$\dot{V} \le -\lambda_{\min}(Q) \|\zeta\| + 2 \|P B\| L \|\zeta\| = -\left( \lambda_{\min}(Q) - 2 \|P B\| L \right) \|\zeta\| \tag{12}$$

增益选取条件：通过选取足够大的 $k1, k_2$，可使 $\lambda{\min}(Q) \gg 2 |P B| L$，保证：

$$\alpha = \lambda_{\min}(Q) - 2 \|P B\| L > 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{V} \le -\alpha \|\zeta\| \tag{13}$$

由于 $V$ 是二次型，且 $P$ 正定，存在 $\beta > 0$ 使 $|\zeta| \ge \beta \sqrt{V}$，代入 (13) 得：

$$\dot{V} \le -\alpha \beta \sqrt{V} \tag{14}$$

收敛结论

求解 (14)，得 $T \le \frac{2\sqrt{V(0)}}{\alpha \beta} < \infty$。

STA 实现仅需测量 $x_1$ 单状态下的有限时间收敛，完美规避微分噪声痛点。

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带线性项超螺旋滑模：SOSML 算法

SOSML 在 STA 基础上引入线性项，兼顾远距离指数快速收敛与原点附近有限时间高精度收敛。

控制律与误差动态

优化控制律：

$$v = -k_1 |x_1|^{1/2} \text{sgn}(x_1) - k_2 x_1 + z, \quad \dot{z} = -k_3 \text{sgn}(x_1) - k_4 x_1 \tag{15}$$

推导误差动态标准型：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -k_1 |x_1|^{1/2} \text{sgn}(x_1) - k_2 x_1 + s \\ \dot{s} = -k_3 \text{sgn}(x_1) - k_4 x_1 + \rho(t) \end{cases}, \quad |\rho(t)| \le L \tag{16}$$

矩阵分解与分段稳定性

沿用变换 $\zeta_1 = |x_1|^{1/2} \text{sgn}(x_1)$，将系统矩阵拆分为恒定稳定项 $A_0$ 和线性时变项 $A_1$：

$$\dot{\zeta} = \frac{1}{|\zeta_1|} \begin{bmatrix} -\frac{k_1}{2} - \frac{k_2}{2} |\zeta_1| & \frac{1}{2} \\ -k_3 - k_4 |\zeta_1| & 0 \end{bmatrix} \zeta + B\rho(t) \tag{17}$$

分段收敛逻辑：

• 远离原点（$|\zeta_1|$ 大）：线性项 $A_1$ 占主导，系统呈指数快速趋近；
• 靠近原点（$|\zeta_1|$ 小）：线性项衰减，系统退化为标准 STA，恢复有限时间精准收敛。

最终全局满足统一微分不等式：

$$\dot{V} \le -\alpha_1 \|\zeta\| - \alpha_2 \|\zeta\|^2 \le -\alpha_1 \|\zeta\| \tag{18}$$

收敛结论

SOSML 实现全局有限时间收敛 + 全域快速动态响应，无传统滑模的收敛速度短板，综合性能最优。

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三种二阶滑模算法全方位对比

算法类型	测量需求	扰动假设	收敛特性	核心特点
Twisting（普通二阶）	需测 $x_1, x_2$（双状态）	幅值有界 $\	f(t)\	\le D$	有限时间收敛	结构简单，依赖微分信号，易引入抖振
STA（超螺旋）	仅需测 $x_1$（单状态）	变化率有界 $\	\dot{f}(t)\	\le L$	有限时间收敛	无需微分，抗扰性强，工业通用首选
SOSML（线性超螺旋）	仅需测 $x_1$（单状态）	变化率有界 $\	\dot{f}(t)\	\le L$	全局有限时间 + 远距离指数加速	动态响应最快，兼顾精度与速度，综合最优

Sliding Mode Momentum Observers for Estimation of External Torques and Joint Acceleration