引言

在经典力学中，我们习惯用“力-位移-速度”来描述运动；在电路里，我们用“电压-电流”来定义行为。物理系统中催在一对天生耦合的“共轭变量”来统一机械、电气、液压乃至热力学系统。

这对变量就是：

Effort（强度量）：如力、力矩、电压、压力。
Flow（广延量）：如速度、角速度、电流、流量。

1. Effort 与 Flow

在键合图理论（Bond Graph）中，任何一个物理子系统都可以抽象为一个“端口（Port）”。端口的输入输出被严格定义为：

Effort (e)：横跨端口两端的“势”差（力、电压）。
Flow (f)：穿过端口的“流”（速度、电流）。

物理域	Effort (e)	Flow (f)	`e × f` 的单位
机械平动	力 (N)	速度 (m/s)	瓦特 (W)
机械转动	力矩 (Nm)	角速度 (rad/s)	瓦特 (W)
电气	电压 (V)	电流 (A)	瓦特 (W)
液压	压力 (Pa)	体积流量 (m³/s)	瓦特 (W)

第一性原理：功率 = Effort × Flow。凡是不满足这个乘积关系的物理量配对，都不具备作为无源性端口的基本条件。

2. 阻抗与导纳

阻抗（Impedance）：阻抗 = Effort / Flow（即力 / 速度）。
- 物理意义：系统抵抗运动的能力。
- 举例：质量（惯性）、弹簧（刚度）、阻尼器。
导纳（Admittance）：导纳 = Flow / Effort（即速度 / 力）。
- 物理意义：系统接受运动的能力。
- 举例：柔顺性、机械导纳。

阻抗系统和导纳系统反馈互联：
一个理解为阻抗，输出力，另一个就接受这个力，获得速度，表现为导纳。
反过来：
一个理解为导纳，输出速度，另一个为了抵抗这个速度，产生力力，表现为阻抗。

力和速度相互作用，讨论是谁先产生就好像讨论现有鸡还是先有蛋

3. 无源性

3.1 储能方程（存储函数法）

一个系统是无源的（Passive），当且仅当存在一个非负的存储函数 $V(x) \ge 0$，使得对于所有输入 $u$ 和输出 $y$ 满足：

$\dot{V}(x) \le u^T y$

如果 $\dot{V} = u^T y$，系统是无损的（Lossless），纯储能，如理想弹簧或电感。
如果 $\dot{V} < u^T y$，系统是严格耗散的（Strictly Dissipative），存在阻尼消耗功率。

对于机械臂，$V(x)$ 通常被选为：

$V = \frac{1}{2} \dot{q}^T M(q) \dot{q} + V_g(q) \quad (\text{动能 + 重力势能})$

其导数为：

$\dot{V} = \dot{q}^T (\tau + \tau_{ext})$

3.2 Bode 图相位判据

对于一个线性时不变（LTI）系统，判断无源性的必要条件是：

相位必须满足 $\angle G(j\omega) \in [-90^\circ, +90^\circ]$。

若相位跌至 $-180^\circ$，则系统绝对不可能是无源的。本质原因在于无源系统的相对阶（相对阶 = 分母次数 - 分子次数）必须 ≤ 1。

相对阶 0：相位趋近 $0^\circ$（如纯弹簧）。
相对阶 1：相位趋近 $-90^\circ$（如纯质量，力→速度）。

举几个关键例子：

纯质量（力→速度）：$G(s) = 1/(Ms)$，相对阶 1，高频相位 -90°，是无源的。
纯质量（力→位移）：$G(s) = 1/(Ms^2)$，相对阶 2，高频相位 -180°，不是无源的。
双惯量弹簧系统（力矩→负载速度）：由于存在两个惯量和一个弹簧，其传递函数的分母阶数比分子高 2 阶（相对阶 2），高频相位跌至 -180°，因此这个端口绝对不可能是无源的。

3.3 零极点与无源性

一个传递函数 $G(s)$ 是无源的，需要满足：

极点：所有极点都在左半平面（或虚轴上简单极点），且相对阶 ≤ 1。
零点：虚轴上的零点必须是简单的（不能有重零）。
零极点交替：零极点投影到虚轴，必须交替出现
留数为正

3.4 非共位控制（Non-collocated Control）

共位控制（Collocated）：传感器和执行器安装在系统的同一端（例如：电机编码器测电机轴，电机力矩控制电机轴）。这个端口通常是无源的。
非共位控制（Non-collocated）：传感器和执行器安装在系统的不同端（例如：电机驱动，但负载端装有编码器，我们试图用电机力矩控制负载速度）。非共位控制不一定无源。
4 无源系统互联
4.1 连接方式
无源子系统之间的连接方式，决定了整体是否依然无源。这里存在三种基本连接方式，它们的数学性质截然不同。

连接方式一：并联（Parallel）
两个无源子系统共享同一个输入，输出相加。取存储函数为两者之和 $V = V_1 + V_2$，则：

$\dot{V} = \dot{V}_1 + \dot{V}_2 \le u^T y_1 + u^T y_2 = u^T (y_1 + y_2)$

供给率依然保持 $u^T y$ 的形式。因此，并联绝对保持无源性。物理上，这就像你把弹簧和阻尼器并排连接，它们只能共同吸收或耗散输入的能量。

连接方式二：负反馈互联（Feedback Interconnection）
将一个系统的输出作为另一个系统的输入，形成闭环（即 $u_1 = r - y_2$, $u_2 = y_1$）。同样取 $V = V_1 + V_2$：

$\dot{V} \le (r - y_2)^T y_1 + y_1^T y_2 = r^T y_1 - y_2^T y_1 + y_1^T y_2$

由于 $y_1^T y_2 = y_2^T y_1$（转置相等），中间两项完美抵消，得到 $\dot{V} \le r^T y_1$。负反馈互联绝对保持无源性。这对应了物理世界中通过弹簧或轴连接的电机与负载——它们之间相互作用力相等且反向，构成了天然的功率守恒闭环。

连接方式三：串联（Cascade / Series）
前一个系统的输出直接作为后一个系统的输入（$ u = u_1 $, $ y_1 = u_2 $, $ y = y_2 $）。此时两者相加得到：

$\dot{V} \le u^T y_1 + y_1^T y$

注意，中间变量 $y_1$ 无法被消去，我们无法推导出 $\dot{V} \le u^T y$ 的形式。因此，串联（级联）在一般情况下会破坏无源性。

4.2 弹簧质量阻尼模型

只由弹簧质量阻尼三种无源元件（参数为正）通过串联，并联构成的新系统还是无源的。
注意，这里的串联不代表传函的串联，而是反馈互联。
因此，如果设计的控制系统能够表示成弹簧质量阻尼系统，那整体就是无源的。
无源的好处是，当无源控制系统与刚度未知的外界环境接触时，传函上表达是反馈互联，结果依然是无源系统。
比如：

惯量整形是无源系统
保留弹性环节的控制（ESP）是无源系统
双惯量系统直接反馈末端速度（非共位控制）无法表示成弹簧质量阻尼模型，不是无源系统
位置环积分，不一定是无源系统
注意：
1. 非共位反馈不一定无源，ESP就使用了末端编码器反馈，但它是无源的
2. PID有积分不一定是有源的，比如速度环PI就是无源的，因为它相当于位置环PD，等效弹簧阻尼并联

无源系统↔正实系统↔能绘制出参数为正的弹簧质量阻尼模型

引言