前言

伺服系统带宽测试、谐振辨识、模型辨识以及控制器参数整定，工程上普遍采用四种经典激励方式：单频定点正弦扫频、Chirp线性扫频、PRBS伪随机序列、锤击脉冲法。

然而，实际应用中存在大量易混淆的核心问题：

  • 正弦扫频为何必须等待稳态响应？直接采集瞬态数据会导致什么偏差？
  • Chirp扫频究竟属于稳态辨识还是瞬态辨识？其频谱形态如何？
  • PRBS与锤击法均为宽频激励，底层原理的根本差异是什么？
  • 何时采用直接FFT，何时采用互相关H1估计？Welch平均法的作用与适用场景是什么？

本文将从激励机理、频谱特征、数学原理、数据处理算法四个维度，系统解构上述问题，为工程选型提供明确依据。

一、激励方式原理分类

1. 稳态遍历型（正弦、慢速Chirp）

该类激励依赖正弦相干确定性信号，逐频点或连续缓慢扫频获取系统的稳态增益与相位。信号相干性强、信噪比高，是高精度建模与标定的首选方案。

核心机理：利用信号自身的相干性抑制噪声，无需大量统计平均，单周期数据即可达到较高精度。

2. 宽带统计型（PRBS、锤击）

该类激励一次性覆盖全频段，依靠时域统计相关性（PRBS）或系统瞬态冲击响应（锤击法）来辨识系统频响。适用于工业强噪声环境，但对数据处理算法有特殊要求。

核心机理：通过多周期平均、互相关运算压制不相关的随机噪声，以计算量换取抗噪鲁棒性。

二、四种激励方式逐一深度解析

1. 单频定点正弦扫频（标准稳态辨识金标准）

本质：纯稳态响应辨识，每个频点独立激励，必须等待瞬态分量完全衰减。

操作流程：对每个预设频率点，输入单一固定频率的正弦信号，系统经历短暂的瞬态振荡后进入等幅同相稳态，此时方可采集输入输出数据。瞬态数据包含零输入响应和暂态误差，不能直接用于频响计算。

频谱特性：单根离散谱线，能量集中在单一频率，无其他频率分量，信噪比最高。

数据处理：直接采用 $ H(f) = \dfrac{Y(f)}{U(f)} $（FFT复数相除），无需平均，精度最高。

优势与局限：

  • 幅频、相频精度最佳，谐振峰、相位滞后辨识最准确，是Bode图的标定基准。
  • 完全排除瞬态误差，适用于陷波滤波器设计、伺服带宽标定、控制器参数精准整定。
  • 测试效率极低，逐点等待耗时最长。

典型场景：产品出厂标定、学术实验、高精度模型辨识、机械谐振精准定位。

2. Chirp线性扫频（连续变频正弦）

本质：串行连续变频激励，属于准稳态遍历，与PRBS的并行激励截然不同。

慢速Chirp（工程推荐）：扫频速率满足 $ k \ll \dfrac{B^2}{Q} $（$B$为系统带宽，$Q$为阻尼系数），频率变化足够缓慢，系统在每个瞬时频率上近似达到稳态，等价于无数个定点正弦的无缝拼接，精度接近定点正弦。

快速Chirp：扫频速率过快，前一频率的瞬态响应尚未衰减即接入下一频率，输出包含多个频率的瞬态叠加，导致频响失真、谐振峰被抹平、辨识带宽偏小。

频谱特性：线性Chirp在带宽内幅频近似平坦，仅时域截断处存在轻微吉布斯纹波；对数Chirp低频扫速快、高频扫速慢，高频能量占比偏高。

算法兼容性：Chirp可直接使用直接FFT计算，也可采用互相关或Welch平均法。高信噪比环境下直接FFT效率最高；强噪声环境下切换至Welch法可有效压制随机干扰，无精度副作用。

典型场景：现场快速调试、产线批量测试、中等精度Bode图快速获取，是定点正弦的有效替代。

3. PRBS伪随机序列

本质：伪随机二值序列，全频段并行激励，依靠统计特性实现辨识。

频谱特性：PRBS功率谱密度呈 $ \mathrm{sinc}^2 $ 包络：

其中 $ T_c $ 为码元时钟周期，$ f_c = 1/T_c $。低频段近似平坦，工程有效带宽约为 $ f_c/5 \sim f_c/3 $，高频段滚降明显（$f=f_c/3$ 处约 -3.9dB）。如需拓展高频，可施加逆sinc补偿滤波器。

强制使用相关算法的原因：伺服系统输出包含大量与激励不相关的随机噪声（电流噪声、量化误差、摩擦扰动等）。直接FFT无法区分响应与噪声。基于维纳-辛钦定理，采用H1估计：

其中 $ S_{uy} $ 为输入-输出互功率谱，$ S_{uu} $ 为输入自功率谱。由于噪声与输入不相关，互相关后噪声贡献趋近于零，仅保留真实系统响应。

序列长度选取原则：总时长 $ T \ge 1/f_{\text{low}} $ 以保证低频分辨率；同时避免过长（通常3~5个完整周期），防止系统时变（温度漂移、摩擦变化）引入误差。

典型场景：工业强噪声环境、小信号无扰动辨识、伺服在线自整定、自动化建模。

4. 锤击法（脉冲激励）

本质：纯瞬态响应辨识，无稳态过程。

原理：瞬时脉冲近似理想冲激，一次性激发系统全频段自由振荡。脉冲宽度 $ \tau $ 决定有效带宽 $ f_{\text{max}} \approx 1/(\pi \tau) $。线性系统下，脉冲响应 $ y(t) $ 即近似系统单位冲激响应 $ h(t) $，直接对 $ y(t) $ 做FFT得到频响。

优势与局限：

  • 优势：测试速度最快，单次冲击即可获得全频段粗略信息，操作简单。
  • 劣势：冲击能量大，易激发非线性、饱和失真；低频能量弱，信噪比极差，精度最低。

典型场景：机械结构模态初测、粗略谐振频率摸底，不适合伺服高精度建模。

三、频域计算方法深度拆解

时域数据采集后，频响函数（FRF）的计算方法直接影响Bode图精度。主流算法有三类：直接FFT法、H1互功率谱法、Welch平均法。以下逐一解析其原理、公式、适用条件。

1. 直接复频响法（FFT直接相除）

核心公式：

原理：对输入输出时域信号分别做FFT，再复数相除，得到各频点的增益与相位。该法隐含假设输入输出完全相干，无随机噪声。

优点：运算量最小，实时性强，无算法畸变，高信噪比下精度优秀。

缺点：无降噪能力，所有输出端噪声、扰动均直接计入频响，导致曲线毛刺严重。

适用场景：定点正弦、慢速Chirp等高信噪比确定性信号。

2. H1估计法（自/互功率谱法）

核心原理：基于维纳-辛钦定理，利用随机噪声与激励信号互不相关的统计特性，通过多周期平均消除噪声干扰，提取纯净系统频响。该方法特别适用于PRBS等无固定稳态波形的宽带随机激励，也适用于强噪声环境下的确定性信号处理。

时域定义与基础公式

对于离散信号，首先计算输入信号的自相关函数 $R_{uu}[k] $ 和输入-输出的互相关函数 $ R_{uy}[k] $：

其中 $ N $为采样点数，$k$ 为延迟索引。

根据维纳-辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换，可得到对应的自功率谱 $S_{uu}(f) $ 和互功率谱 $S_{uy}(f) $：

频域共轭乘法实现（工程数值计算方式）

在工程实际中，为了提高计算效率并避免显式进行时域相关运算，功率谱通常直接在频域通过复数共轭乘法等效获得。设单段数据的输入信号FFT为 $U_i(f) $，输出信号FFT为 $Y_i(f) $，则该段的自功率谱和互功率谱可写为：

其中 $U_i^*(f) $ 表示 $ U_i(f) $ 的复数共轭。

这一计算方式正是论文（Wandinger 第 2.6 节）中定义的 $ H_1 $ 估计的直接频域表达。当采集了 $ M $ 个独立周期（或分段）的数据时，分别计算每段的频域乘积，然后进行集总平均：

最终H1估计的频响函数为：

该式严格对应论文中的核心公式（2.23） $ H_1(s) = \dfrac{\sum_{n=1}^{N}(A_n(s)E_n^*(s))}{\sum_{n=1}^{N}(E_n(s)E_n^*(s))} $（其中 $ A $ 对应输出 $ Y $，$ E $ 对应输入 $ U $）。这种频域共轭乘法等效于时域相关运算，同时完成了自/互谱的统计平均，能够有效压制与激励不相关的随机噪声。

降噪机理

设实际输出信号包含加性噪声 $y(t)=h(t)*u(t)+v(t) $，其中 $ v(t) $ 为与输入不相关的随机噪声。由于 $v(t) $ 与 $u(t) $ 统计独立，互相关 $R_{uv}[k]\to 0 $，因此在频域中 $S_{uv}(f)\to 0 $，使得互功率谱 $S_{uy}(f) $ 仅保留系统真实响应的贡献，噪声被有效抑制。

相干函数与质量评估

为评价频响估计的可靠性，引入相干函数 $\gamma^2(f) $。根据论文公式（2.24），其定义为：

相干函数取值在 $0\sim 1$ 之间，$\gamma^2=1$ 表示输出完全由输入决定，无噪声或非线性影响；$\gamma^2$ 越接近0，表明测量受噪声或非线性干扰越严重。工程中常以 {% raw %}$ \gamma^2>0.8 ${% endraw %} 作为数据可信的判据。

窗函数的选择

为避免频谱泄漏，通常对每段时域数据施加窗函数：

  • 对于连续随机信号（如PRBS、噪声激励），采用汉宁窗（Hanning），其定义为：

  • 对于瞬态脉冲信号（如锤击法），采用指数窗（Exponential Window），其定义为：

    其中 {% raw %}$\tau${% endraw %} 为时间常数，用于加速信号尾部衰减，减少截断效应。

优缺点

  • 优点：抗噪能力强，能有效压制随机扰动，辨识结果稳定可靠；附带相干函数可直观评估数据质量。
  • 缺点：需要多周期数据保证统计稳定性；计算量大于直接FFT；对系统时变性敏感，过长数据可能引入时变误差。

专属适用场景：PRBS辨识的标准算法；强噪声环境下Chirp信号处理；需要量化数据可靠性的精密辨识任务。

3. Welch平均法（工程标准优化算法）

核心定位：H1估计的工程增强版，是专业辨识设备的底层默认算法。

算法步骤：

  1. 重叠分段：将长序列时域数据分割为多段（通常50%重叠），以弥补加窗带来的信息损失。
  2. 加窗：每段数据施加窗函数（默认汉宁窗，针对瞬态信号可切换为指数窗）。
  3. 逐段谱计算：对每段加窗数据计算自功率谱 {% raw %}$ S_{uu,i}(f) ${% endraw %} 和互功率谱 {% raw %}$ S_{uy,i}(f) ${% endraw %}。

  4. 集总平均：对所有分段的功率谱进行算术平均，降低方差、平滑噪声：

  5. 频响计算：{% raw %}$ H_{\text{Welch}}(f) = \dfrac{\bar{S}_{uy}(f)}{\bar{S}_{uu}(f)} ${% endraw %}

核心优势：同时解决频谱泄漏、随机噪声、统计方差三大问题，输出曲线平滑，鲁棒性极强。

优缺点：

  • 优点：全场景通用，抗噪能力最强，曲线无毛刺，辨识稳定性最高。
  • 缺点：计算量最大，低频分辨率受单段数据长度限制（需权衡段长与分段数）。

适用场景：兼容所有激励方式，是高精度建模、量产标定、学术研究的首选算法。

三类算法选型总结

场景 推荐算法 原因
干净实验室、快速趋势 直接FFT 运算最快，无额外开销
工业噪声、PRBS H1相关法 经典降噪，附带相干评估
高精度、极致平滑 Welch平均法 综合性能最优，工程标准

四、激励方式与算法匹配总览表

激励方式 响应类型 频谱特性 推荐核心算法 需稳态等待 抗噪能力 精度 典型用途
单频定点正弦 纯稳态 单谱线，能量集中 直接FFT / Welch单频平均 必须等待 极强 最高 带宽标定、陷波设计、学术标定
慢速线性Chirp 准稳态 带宽内均匀平坦，边缘轻微纹波 直接FFT / Welch平均 无需等待 强 高 快速精准扫频，替代定点正弦
快速Chirp 瞬态叠加 平坦但含瞬态畸变 直接FFT（仅粗测） 无意义 一般 低 粗略趋势观察
PRBS伪随机 统计准稳态 sinc²包络，低频平坦，高频滚降 H1相关法 / Welch法 不需要 最强 中高（噪声环境最优） 工业现场辨识、伺服自整定
锤击脉冲 纯瞬态 宽频，高频衰减，低频能量弱 直接FFT + 指数窗 不需要 极弱 最低 机械模态初步摸底

五、核心易错结论总结

1. Chirp与PRBS底层机理完全异构

  • Chirp：串行逐个频率遍历，利用正弦相干性，频谱平坦，适合无噪声或弱噪声场景。
  • PRBS：并行全频段激励，利用统计相关性降噪，频谱呈sinc²滚降，适合强噪声场景。

二者虽同为宽频，但激励逻辑、频谱形态、降噪原理截然不同，不可混淆。

2. 相关类算法为通用降噪方案，并非PRBS专属

  • PRBS必须依赖H1或Welch才能有效辨识，否则噪声淹没信号。
  • 正弦、Chirp可直接用FFT，但在强干扰环境下切换为Welch同样能提升稳定性，且无精度损失。

3. Welch法是工程辨识的终极标准

Welch集重叠分段、加窗防泄漏、多段平均于一体，是H1的工程强化版，兼容所有激励信号，在抗噪能力和频谱精度之间达到最佳平衡，是专业设备默认算法。

4. 相干函数是数据质量的核心判据

无论采用何种算法，都应计算$ \gamma^2 $ 以评估辨识可靠性。低相干值提示需调整激励参数或增加平均次数。

六、工程场景推荐选择

场景需求 推荐激励 推荐算法
高精度标定、滤波器设计、学术实验 定点正弦 直接FFT
工业现场强噪声、小信号、自整定 PRBS Welch平均法（配合相干评估）
产线批量测试、兼顾效率与精度 慢速线性Chirp 直接FFT / Welch
计算资源充足、追求最佳平滑曲线 任意激励 Welch法
机械结构粗略模态摸底 锤击法 直接FFT + 指数窗